Question

某公司為了實(shí)現(xiàn)1 000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(萬元)隨銷售利潤x(萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)勵(lì)總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25％，現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log₇x＋1，y＝1.002^x，其中哪個(gè)模型能符合公司要求？

Answer 1

答案：
解析：

解：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖像如下圖所示： 　　觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10，1000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖像都有一部分在y＝5的上方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)才能符合公司要求，下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷． 　　首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬． 　　對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10，1000]上是單調(diào)遞增的，當(dāng)x∈(20，1000)時(shí)，y＞5，因此該模型不符合要求． 　　對(duì)于模型y＝1.002x，利用計(jì)算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函數(shù)，故當(dāng)x∈(806，1000]時(shí)，y＞5，因此，也不符合題意． 　　對(duì)于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10，1000]上單調(diào)遞增且當(dāng)x＝1000時(shí)，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求． 　　再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否超過利潤x的25％，即當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作f(x)＝log7x＋1－0.25x的圖像，由圖像可知f(x)是減函數(shù)，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x． 　　所以當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，y＜0.25x．這說明，按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)不超過利潤的25％． 　　綜上所述，模型y＝log7x＋1確實(shí)符合公司要求．

提示：

思路分析：本題主要考查指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長差異，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求，即當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，能夠滿足y≤5，且≤25％，可以先從函數(shù)圖像得到初步的結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果． 　　綠色通道：從這個(gè)例題我們看到，底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)模型比一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)模型增長速度要快得多，而后者又比真數(shù)大于1的對(duì)數(shù)函數(shù)模型要快，從這個(gè)實(shí)例我們可以體會(huì)到對(duì)數(shù)增長，直線上升，指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增大的含義．