Question

求下列函數的值域：

(1)y=x²-2x(-1≤x≤2)；(2)y=x⁴+1.

Answer 1

思路分析：本題主要考查函數的值域及其求法.(1)借助于函數值域的幾何意義，利用函數的圖像求值域；(2)觀察得x⁴≥0，得函數的值域，也可以利用換元法轉化為求二次函數的值域.

解：(1)(圖像法)在平面直角坐標系中畫出二次函數y=x²-2x(-1≤x≤2)的圖像，如圖所示.

    函數y=x²-2x(-1≤x≤2)的圖像上所有點的縱坐標的取值范圍就是函數的值域,觀察圖像知函數的值域是［-1,3］.

(2)解法一(觀察法)：函數的定義域是R，則x⁴≥0，有x⁴+1≥1，即函數y=x⁴+1的值域是［1,+∞)；

解法二(換元法)：函數的定義域是R，設x²=t，則t≥0，則有y=t²+1.利用圖像可求得當t≥0時，二次函數y=t²+1的值域是［1,+∞),即函數y=x⁴+1的值域是［1,+∞).