Question

11．已知集合A={y|y=log₂x，x≥4}，B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x，-1≤x≤0}．
（1）求A∩B；
（2）若集合C={x|a≤x≤2a-1}，且C∪B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出y=log₂x，x≥4的值域得到集合A，求出y=（$\frac{1}{2}$）^x，-1≤x≤0的值域得到集合B，根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可求A∩B；
（2）集合C={x|a≤x≤2a-1}，根據(jù)C∪B=B，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）集合A={y|y=log₂x，x≥4}，
函數(shù)y=log₂x，
∵x≥4，
∴y≥2，
∴值域?yàn)閧y|y≥2}
∴集合A={y|y=log₂x，x≥4}=[2，+∞）
B={y|y=（$\frac{1}{2}$）^x，-1≤x≤0}．
函數(shù)y=（$\frac{1}{2}$）^x，
∵-1≤x≤0，
∴2≥y≥1，
∴值域?yàn)閧y|2≥y≥1}，
∴集合B=[1，2]．
那么：A∩B={2}．
（2）集合C={x|a≤x≤2a-1}，
∵C∪B=B，
∴C⊆B
當(dāng)C=∅時(shí)，滿足題意，此時(shí)2a-1＜a，解得：a＜1．
當(dāng)C≠∅時(shí)，要使C⊆B，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{2a-1≤2}\end{array}\right.$，解得：1$≤a≤\frac{3}{2}$
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查指數(shù)，對數(shù)的值域的求法和集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．屬于基礎(chǔ)題．