Question

5．一次函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，已知f[f（x）]=16x+5，g（x）=f（x）（x+m）．
（1）求f（x）；
（2）若g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)x∈[-1，3]時，g（x）有最大值13，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax+b，a＞0，代入條件，由恒等式的性質(zhì)可得方程，解方程可得f（x）的解析式；
（2）求得g（x）的解析式和對稱軸方程，再由單調(diào)性可得-$\frac{4m+1}{8}$≤1，解不等式即可得到所求范圍；
（3）根據(jù)拋物線的開口向上，可得最大值在端點(diǎn)處取得，解方程可得m的值，注意檢驗即可得到．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的增函數(shù)，
∴設(shè)f（x）=ax+b，a＞0，
f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=16x+5，
∴a²=16，ab+b=5，
解得a=4，b=1或a=-4，b=-$\frac{5}{3}$（不合題意舍去），
∴f（x）=4x+1；
（2）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m，
對稱軸為x=-$\frac{4m+1}{8}$，
由題意可得-$\frac{4m+1}{8}$≤1，解得m≥-$\frac{9}{4}$；
（3）由于g（x）為開口向上的拋物線，
可得g（x）的最大值為端點(diǎn)處的函數(shù)值．
當(dāng)g（-1）取得最大值時，即-3（m-1）=13，解得m=-$\frac{10}{3}$；
當(dāng)g（3）取得最大值時，即13（m+3）=13，解得m=-2．
當(dāng)m=-2時，對稱軸為x=-$\frac{4m+1}{8}$=$\frac{7}{8}$，g（-1）=9＜g（3）=13；
當(dāng)m=-$\frac{10}{3}$時，對稱軸為x=-$\frac{4m+1}{8}$=$\frac{37}{24}$，g（-1）=13＞g（3）=-13．
綜上可得，m=-2或-$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查二次函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，注意運(yùn)用對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．