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已知橢圓的中心為原點O，長軸長為4
2
，一條準線的方程為y=
8
7
7
．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）射線y=2
2
x（x≥0）與橢圓的交點為M，過M作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于A，B兩點（A，B兩點異于M）．求證：直線AB的斜率為定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）設橢圓方程為：
y2
a2
+
x2
b2
=1．由題意得
2a=4
2
a2
c
=
8
7
7
，由此能求出橢圓標準方程．
（Ⅱ）設k＞0，求出M（
2
2
，2）．直線MA方程為y-2=k(x-
2
2
)，直線MB方程為y-2=-k(x-
2
2
)．分別與橢圓方程聯(lián)立，求出交點坐標，由此能證明直線AB的斜率為定值．
解答： （Ⅰ）解：由準線為y=
8
7
7
知焦點在y軸上，
則可設橢圓方程為：
y2
a2
+
x2
b2
=1．
又
2a=4
2
a2
c
=
8
7
7
，解得
a=2
2
b=1
c=
7
，
所以橢圓標準方程為：x2+
y2
8
=1．
（Ⅱ）證明：∵斜率k存在，不妨設k＞0，求出M（
2
2
，2）．
直線MA方程為y-2=k(x-
2
2
)，
直線MB方程為y-2=-k(x-
2
2
)．
分別與橢圓方程聯(lián)立，
解出xA=
2
k2-4k
k2+8
-
2
2
，xB=
2
k2+4k
k2+8
-
2
2
．
∴
yA-yB
xA-xB
=
k(xA-xB)
xA-xB
=2
2
．
∴kAB=2
2
（定值）．
∴直線AB的斜率為定值2
2
．
點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，考查直線的斜率為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖（1）是多面體ABC-A1B1C1的直觀圖，該多面體的三視圖如圖（2）．
（1）在棱CC1（不包括點C、C1）上是否存在一點E，使EA⊥EB1，并說明理由；
（2）在（1）的條件下，求二面角A-EB1-A1的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

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（1）求頂點A的軌跡Q；
（2）若不經過點B、C的直線l與軌跡Q只有一個公共點，且公共點在第一象限，試求直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積的最小值，并求此時直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
3
sinωxcosωx-cos2ωx（ω＞0）的周期為
π
2
．
（1）求ω的值和f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）設△ABC的三邊a，b，c成等比數列，且邊b所對的角為x，求此時函數f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設等比數列{an}滿足a5-a1=80，前4項和S4=40．
（Ⅰ）求{an}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{bn}滿足bn=
1
an
log3an，求數列{bn}的前n項和．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知等差數列{an}，公差d＞0，前n項和為Sn，S3=12，且滿足a3-a1，a4，a8成等比數列．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{bn}滿足2an+1-an=2nbnSn，求數列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上頂點為A，離心率為
6
3
，若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且
AP
•
AQ
=0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AP的斜率為1，求直線PQ的方程；
（3）求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義函數f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）f′（x）是f（x）的導函數，若不等式|f′（x）|≤1對任意的x∈[0，1]恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若b＜0，函數f（x）有兩個零點滿足x1∈（0，1），x2∈（1，2），求a-2b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若雙曲線
x2
4
-
y2
21
=1上的點P到一個焦點的距離為6，則點P到另一個焦點的距離為
 
．

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