Question

如圖：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°．E為BB₁的中點，D點在AB上且DE=

3

．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-CDE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)DE=

3

，可得D為AB的中點，然后利用線面垂直的判定定理，證明CD⊥AB，即可證明CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）根據(jù)錐體的條件公式確定三棱錐的底面積和高即可以求出錐體的體積．

解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°，
∴△ACB為等腰直角三角形，∴AB=2

2

，
∵E為BB₁的中點，∴BE=1，
又DE=

3

，
∴BD=

2

，即D為AB的中點，
∴CD⊥AB．
又AA₁⊥CD，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）∵CD⊥平面A₁ABB₁，
∴CD是三棱錐C-A₁DE的高，且CD=

2

．
S△ACD=

1

2

×

2

×2=

2

，S△BDE=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
S△A1B1E=

1

2

×

2

×1=

2

2

，
∴S△A1DE=2×2

2

-S△A1B1E-S△ACD-S△BDE=4

2

-

2

-

2

2

-

2

2

=2

2

．
又VA1-CDE=VC-A1DE=

1

3

S△A1DE?CD=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

．
∴三棱錐A₁-CDE的體積為

4

3

．

點評：本題主要考查線面垂直的判斷，以及三棱錐的體積的計算，利用等積法將三棱錐轉(zhuǎn)化為規(guī)則的三棱錐是解決本題關(guān)鍵．