Question

已知向量=（x，y）與向量=（y，2y-x）的對應(yīng)關(guān)系用=f（）表示．
（1）證明對任意的向量、及常數(shù)m、n，恒有f（m+n）=mf（）+nf（）成立；
（2）設(shè)=（1，1），=（1，0），求向量f（）與f（）的坐標(biāo)；
（3）求使f（）=（p，q）（p、q為常數(shù)）的向量的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用新定義的向量之間的關(guān)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示的運算法則進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．設(shè)出兩個向量的坐標(biāo)，通過坐標(biāo)運算證明二者的相等；
（2）根據(jù)兩個向量之間的關(guān)系依據(jù)題目所給的映射關(guān)系寫出所求的向量坐標(biāo)；
（3）利用方程思想設(shè)出所求向量的坐標(biāo)，通過建立未知數(shù)的方程達到求向量坐標(biāo)的目的．
解答：解：（1）設(shè)=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），
∴m+n=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂），
f（m+n）=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
又mf（）=m（y₁，2y₁-x₁），nf（）=n（y₂，2y₂-x₂），
∴mf（）+nf（）=（my₁+ny₂，（2y₁-x₁）m+（2y₂-x₂）n）
=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
∴f（m+n）=mf（）+nf（）成立．
（2）=（1，1），∴f（）=（1，2×1-1）=（1，1）；
=（1，0），∴f（）=（0，2×0-1）=（0，-1）．
（3）設(shè)=（x，y），∴f（）=（y，2y-x）．
∴（y，2y-x）=（p，q）．
∴
∴=（2p-q，p）．
點評：本題考查新定義的問題的求解，關(guān)鍵要讀懂向量通過該映射下的坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間的關(guān)系，考查二維的運算問題，考查方程思想，考查學(xué)生對新知識的即興理解能力．