Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-3a²+a．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最值；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入函數(shù)，求出其導函數(shù)，得到其極值點，通過比較極值和端點值的大小即可得到函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最值；
（2）先求出其導函數(shù)，得到其極值點，列出x，f（x），f′（x）的變化值表，根據(jù)表即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)并求出極值．

解答：解：（1）當a=1，f（x）=x³-3x²-2，f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）------------（2分）
由f′（x）=0，得x=0或x=2．-----------------（3分）
又f（0）=-2，f（2）=-6，f（-1）=-6，f（4）=14．
∴f（x）在在[-1，4]上最大值為14； 最小值為-6．-----------------（5分）
（2）若a＞0，f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），
令f′（x）=0，得x=0，x=2a，----（7分）
列出x，f（x），f′（x）的變化值表
  …（9分）
由表可知：函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間：（-∞，0）（2a，+∞）；單調(diào)減區(qū)間（0，2a）；-----（10分
所以：f（x）_極大值=f（0）=-3a+a，
f（x）_極小值=f（2a）=-4a³-3a²+a-----（12分）

點評：本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．