Question

5．已知在x=θ時(shí)，f（x）=3sinx+4cosx取最大值，則$\frac{sin2θ+co{s}^{2}θ+1}{cos2θ}$=$\frac{15}{7}$．

Answer 1

分析 由題意可得f（θ）=3sinθ+4cosθ=5，可得sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，由此求得所給式子的值．

解答 解：∵在x=θ時(shí)，f（x）=3sinx+4cosx=5（$\frac{3}{5}$sinx+$\frac{4}{5}$cosx）=5sin（x+α）取最大值為5，
其中，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
則f（θ）=3sinθ+4cosθ=5，∴sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$，
則$\frac{sin2θ+co{s}^{2}θ+1}{cos2θ}$=$\frac{2sinθcosθ{+cos}^{2}θ-1}{{2cos}^{2}θ-1}$═$\frac{2•\frac{3}{5}•\frac{4}{5}+\frac{16}{25}-1}{2•\frac{16}{25}-1}$=$\frac{15}{7}$，
故答案為：$\frac{15}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的最值，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．