Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期．
（II）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角，輔助角公式化簡，即可求f（x）的最小正周期．
（II）利用f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上，求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx．
化簡可得f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（I）∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（II）x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為$-\frac{\sqrt{3}}{2}×2=-\sqrt{3}$．
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為1×2=2．
故得f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值為2，最小值為$-\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的運用和化簡能力以及計算能力．