Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，且a₁，2²，a₂，2⁴，…，a_n，2²ⁿ，…成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項和，若S_k≥30（2^k+1），求正整數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）先求出等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$，從而得到$\frac{2}{3}（{4}^{k}-1）$≥30（2^k+1），由此能求出正整數(shù)k的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵列{a_n}的各項為正數(shù)，且a₁，2²，a₂，2⁴，…，a_n，2²ⁿ，…成等比數(shù)列，
∴${{a}_{2}}^{2}={2}^{2}•{2}^{4}={2}^{6}$，即a₂=8，
∴$\frac{{2}^{2}}{{a}_{1}}=\frac{8}{{2}^{2}}$，解得a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是首項為a₁=2，公比為q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}=2×{4}^{n-1}$．
（Ⅱ）∵數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為4的等比數(shù)列，
∴等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{2}{3}（{4}^{n}-1）$，
∵S_k≥30（2^k+1），∴$\frac{2}{3}（{4}^{k}-1）$≥30（2^k+1），
即2×（2^k）²-90×2^k-92≥0，
解得2^k≥46或2^k≤-1（舍），
∴正整數(shù)k的最小值為6．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的正整數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．