Question

19．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b²+c²=a²+bc
（1）求A；
（2）若$a=\sqrt{3}$，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b²+c²-a²=bc，整體代入余弦定理可得cosA，由三角形內(nèi)角的范圍可得A=$\frac{π}{3}$；
（2）由題意和余弦定理可得bc=2，整體代入三角形的面積公式計算可得．

解答 解：（1）∵△ABC中，b²+c²=a²+bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵$a=\sqrt{3}$，b+c=3，A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA
=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
代入數(shù)據(jù)可得3=9-3bc，解得bc=2，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面積公式和整體代入的思想，屬中檔題．