Question

如圖所示，拋物線y=4-x²與直線y=3x的兩交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P在拋物線上從A向B運(yùn)動(dòng)．
（1）求使△PAB的面積最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)（a，b）．
（2）證明由拋物線與線段AB圍成的圖形，被直線x=a分為面積相等的兩部分．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）由（Ⅰ）可得A，B，要使△PAB的面積最大即使點(diǎn)P到直線3x-y=0的距離最大，故過點(diǎn)P的切線與直線3x-y=0平行，從而可求．
（Ⅱ）根據(jù)A（1，3），B（-4，-12）到直線x=-

3

2

，距離相等設(shè)為d，等底等高，得出面積相等．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）由（Ⅰ）得A（1，3），B（-4，-12）
要使△PAB的面積最大
即使點(diǎn)P到直線3x-y=0的距離最大 故過點(diǎn)P的切線與直線3x-y=0平行
又過點(diǎn)P的切線得斜率為k=y'=-2x|_x=a=-2a
∴-2a=3即a=-

3

2

，b=

7

4

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

2

，

7

4

）時(shí)，△PAB的面積最大．

（Ⅱ）∵x=-

3

2

，A（1，3），B（-4，-12）
∴x=-

3

2

，y=4-x²與直線y=3x，交點(diǎn)為；（-

3

2

，

7

4

），（-

3

2

，

9

2

），距離為

11

4

，
∵A（1，3），B（-4，-12）到直線x=-

3

2

的距離相等設(shè)為d，則d=

5

2

，
等底等高，
∴由拋物線與線段AB圍成的圖形，被直線x=a分為面積相等的兩部分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)，面積問題，難度較小，屬于容易題．