Question

數(shù)列{a_n}定義是：a₁=1，a₂=2，a₃=3，a_n+3=

an+1an+2+7

an

，n∈N^*，證明：該數(shù)列中的項(xiàng)都是整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a₁=1，a₂=2，a₃=3，a_n+3=

an+1an+2+7

an

，n∈N^*，可得a₄=13為整數(shù)．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“該數(shù)列中的項(xiàng)都是整數(shù)”即可．

解答： 證明：∵a₁=1，a₂=2，a₃=3，a_n+3=

an+1an+2+7

an

，n∈N^*，
∴a₄=

a2a3+7

a1

=

2×3+7

1

=13為整數(shù)．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：該數(shù)列中的項(xiàng)都是整數(shù)．
（1）當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，a_n都是整數(shù)，命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n≤k+3（k∈N^*）時(shí)，命題成立．
∵a_k+3a_k=a_k+1a_k+2+7，a_k+4a_k+1=a_k+2a_k+3+7，
∴（a_k+4+a_k+2）a_k+1=a_k+3（a_k+a_k+2），
由于等式右邊為整數(shù)，a_k+1，a_k+2為整數(shù)，
則a_k+4必然為整數(shù)，
因此當(dāng)n=k+4時(shí)，命題成立．
綜上可得：該數(shù)列中的項(xiàng)都是整數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．