Question

4．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}$，且目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{x}{a}+\frac{y}$（a＞0，b＞0）的最大值10，則5a+4b的最小值為（　�。�

• A． 6
• B． 8
• C． 60
• D． 80

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求5a+4b的最小值．

解答 解：由目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{x}{a}+\frac{y}$（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{a}$x+bz，
作出$\left\{\begin{array}{l}x+y≥3\\ x-y≥-1\\ 2x-y≤3\end{array}$的可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=-$\frac{a}$x+bz的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大．
平移直線y=-$\frac{a}$x+bz，由圖象可知當(dāng)y=-$\frac{a}$x+bz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
直線的截距最大，此時(shí)z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，即A（4，5）．
此時(shí)z=$\frac{4}{a}$+$\frac{5}$=10，
即$\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$=1，
則5a+4b=（5a+4b）（$\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$）=2+2+$\frac{8b}{5a}$+$\frac{5a}{2b}$≥4+2$\sqrt{\frac{8b}{5a}•\frac{5a}{2b}}$=4+4=8，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{8b}{5a}$=$\frac{5a}{2b}$，并且$\frac{2}{5a}$+$\frac{1}{2b}$=1，即4b=5a時(shí)，b=1，a=$\frac{4}{5}$時(shí)取等號(hào)，
故5a+4b的最小值為8，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．