Question

在△ABC中，若acosC=（2b-c） cosA，3b=2c，S_△ABC=

3 3

2

．
（Ⅰ）求∠A與b的值；
（Ⅱ）求sinB的值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后求出cosA的值，即可確定出∠A，利用三角形面積公式列出關系式，把表示出的c，sinA，以及已知面積代入求出b的值即可；
（Ⅱ）由b的值求出c的值，利用余弦定理列出關系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，再利用正弦定理求出sinB的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，acosC=（2b-c）cosA，
∴由正弦定理化簡得：sinAcosC=（2sinB-sinC）cosA，
整理得：sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，即sin（A+C）=sinB=2sinBcosA，
∵sinB≠0，∴cosA=

1

2

，
∴∠A=60°，
∵3b=2c，S_△ABC=

3 3

2

，
∴

1

2

bcsinA=

1

2

×

3

2

×

3

2

b²=

3 3

2

解得：b=2；
（Ⅱ）∵3b=2c，b=2，
∴c=3，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=4+9-6=7，即a=

7

，
則由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=

2× 3 2

7

=

21

7

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．