Question

12．如圖，△ABC中，以BC為直徑的⊙O分別交AC，AB于點E，F(xiàn)，BE，CF交于點H．求證：
（Ⅰ）過C點平行于AH的直線是⊙O的切線；
（Ⅱ）BH•BE+CH•CF=BC²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)EF，延長AH交BC于D，過C點平行于AH的直線是CM，證明△ADC∽△BEC，可得AD⊥BC，即可證明過C點平行于AH的直線是⊙O的切線；
（Ⅱ）證明BH•BE=BD•BC，同理CH•CF=CD•BC，兩式相加證明BH•BE+CH•CF=BC²．

解答 解：（Ⅰ）連結(jié)EF，延長AH交BC于D，過C點平行于AH的直線是CM，
∵BC是直徑，∴∠BEC=∠BFC=90°，∴∠AFH+∠AEH=180°，
∵A，F(xiàn)，H，E四點共圓，∴∠1=∠2，
又∵BFEC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，
而∠C=∠C，∴△ADC∽△BEC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴AD⊥BC，∴CM⊥BC，∴CM是⊙O的切線．                   …（5分）
（Ⅱ）∵∠HDC+∠HEC=180°，∴H，D，C，E四點共圓，
∴BH•BE=BD•BC，同理CH•CF=CD•BC，
兩式相加BH•BE+CH•CF=BD•BC+CD•BC=（BD+CD）•BC=BC²…（10分）

點評 本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．