Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)y=f^-1（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=log_a（x-a），是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)x∈[a+2，a+3]時，恒有|f^-1（x）+g（x）|≤1成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)y=a^x+3a，則a^x=y-3a，
兩邊取對數(shù)得：x=log_a（y-3a），
所以f^-1（x）=log_a（x-3a）
（2）因為x∈[a+2，a+3]時，函數(shù)有意義，所以（a+2）-3a=2-2a＞0，所以0＜a＜1，
設(shè)h（x）=f^-1（x）+g（x），則，二次函數(shù)u=x²-4ax+3a²的對稱軸為x=2a＜2，
所以u=x²-4ax+3a²在x∈[a+2，a+3]上為增函數(shù)，
當(dāng)x=a+2時，取得最小值4（1-a），當(dāng)x=a+3時取得最大值3（3-2a）
從而可得在閉區(qū)間[a+2，a+3]上的最小值與最大值分別為log_a3（3-2a），log_a4（1-a）
當(dāng)x∈[a+2，a+3]時，恒有|f^-1（x）+g（x）|≤1成立的充要條件為，  
 解得．
分析：（1）將y=a^x+3a作為方程利用指數(shù)式和對數(shù)式的互化解出x，然后確定原函數(shù)的值域即為反函數(shù)的定義域；
（2）設(shè)h（x）=f^-1（x）+g（x），然后求出h（x）在閉區(qū)間[a+2，a+3]上的最小值與最大值分，使最大值與最小值都小于等于，建立不等式組進(jìn)行求解即可．
點評：本題主要考查了函數(shù)解析式求解，以及反函數(shù)和函數(shù)恒成立問題的求解，同時考查了分析問題的能力和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．