Question

15．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1和g（x）=$\frac{bx-1}{{a}^{2}x+2b}$；
（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)a＞0時(shí)判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實(shí)根為x₁，x₂，f（x）=0的兩根為x₃，x₄，求使x₁＜x₂＜x₃＜x₄成立的a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)容易得到b=0，從而得到g（x）=$-\frac{1}{{a}^{2}x}$，從而可判斷出g（x）為奇函數(shù)；
（2）由方程g（x）=x可以得到a²x²+bx+1=0，而根據(jù)該方程有兩個(gè)不等實(shí)根便可得到b²＞4a²，由a＞0，便可得出b＞2a，或b＜-2a，進(jìn)一步可以求出$-\frac{2a}$的范圍，從而可判斷出f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）先得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+bx+1=0}\\{a{x}^{2}+bx+1=0}\end{array}\right.$，可設(shè)α為x₁，x₂中的一個(gè)數(shù)，從而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{（α-{x}_{3}）（α-{x}_{4}）＞0}\end{array}\right.$，而根據(jù)${x}_{3}+{x}_{4}=-\frac{a}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{a}$便可得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{{α}^{2}+\frac{a}α+\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$．這時(shí)可討論a，從而可以化簡(jiǎn)${α}^{2}+\frac{a}α+\frac{1}{a}＞0$：a＞0時(shí)會(huì)得到a-a²＞0，可解出0＜a＜1；a＜0時(shí)會(huì)得到a-a²＜0，可以解出a＜0，這樣便可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）為偶函數(shù)；
∴f（-x）=f（x）；
即ax²-bx+1=ax²+bx+1；
∴b=0；
∴$g（x）=-\frac{1}{{a}^{2}x}$；
g（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，且g（-x）=g（x）；
∴g（x）為奇函數(shù)；
（2）由g（x）=x得，$\frac{bx-1}{{a}^{2}x+2b}=x$；
整理得，a²x²+bx+1=0，該方程有兩個(gè)不等實(shí)根；
∴△=b²-4a²＞0，a＞0；
∴b＞2a，或b＜-2a；
∴$-\frac{2a}＜-1，或-\frac{2a}＞1$；
f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為$x=-\frac{2a}$；
∴b＞2a時(shí)，f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，b＜-2a時(shí)，f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{g（x）=x}\\{f（x）=0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+bx+1=0}\\{a{x}^{2}+bx+1=0}\end{array}\right.$；
設(shè)α為x₁，x₂中的一個(gè)數(shù)，則：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{（α-{x}_{3}）（α-{x}_{4}）＞0}\end{array}\right.$；
∵${x}_{3}+{x}_{4}=-\frac{a}，{x}_{3}{x}_{4}=\frac{1}{a}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{{α}^{2}+\frac{a}α+\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$；
①若a＞0，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{a{α}^{2}+bα+1＞0}\end{array}\right.$；
兩式聯(lián)立可得（a-a²）α²＞0；
∴a-a²＞0；
∴0＜a＜1；
②若a＜0，則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{a{α}^{2}+bα+1＜0}\end{array}\right.$；
聯(lián)立兩式得（a-a²）α²＜0；
∴a-a²＜0；
∴a＞1，或a＜0；
∴a＜0；
∴綜上得，a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 考查偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義及判斷過(guò)程，一元二次方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和判別式△的關(guān)系，以及二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，韋達(dá)定理，解一元二次不等式．