Question

如題圖已知橢圓C：的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F，△FAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．
 （I）求橢圓C的方程；   
（II）設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，連接MO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)P，求△PMN的面積S_△PMN的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用已知及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)即可得出；
（Ⅱ）把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的面積公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：b=1，a=2．
∴橢圓的方程為．
（Ⅱ）由橢圓的對(duì)稱性可知：點(diǎn)M、P關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，∴S_△PMN=2S_△OMN．
由（Ⅰ）可知：=，∴F．
設(shè)直線l的方程為：x=my+，聯(lián)立得，消去x得到，
∴，．
∴|y₁-y₂|==．
∴=．
設(shè)，則==1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
∴S_△PMN≤2，即△PMN的面積的最大值為2．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積公式、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．