如題圖已知橢圓C:數(shù)學(xué)公式的上、下頂點(diǎn)分別為A、B,右焦點(diǎn)為F,△FAB是邊長為2的等邊三角形.
(I)求橢圓C的方程; 
(II)設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn),連接MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長交橢圓C于點(diǎn)P,求△PMN的面積S△PMN的最大值.

解:(Ⅰ)由題意可得:b=1,a=2.
∴橢圓的方程為
(Ⅱ)由橢圓的對稱性可知:點(diǎn)M、P關(guān)于點(diǎn)O中心對稱,∴S△PMN=2S△OMN
由(Ⅰ)可知:=,∴F
設(shè)直線l的方程為:x=my+,聯(lián)立得,消去x得到,
,
∴|y1-y2|==
=
設(shè),則==1,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
∴S△PMN≤2,即△PMN的面積的最大值為2.
分析:(Ⅰ)利用已知及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)即可得出;
(Ⅱ)把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系及三角形的面積公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.
點(diǎn)評:熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積公式、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如題圖已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的上、下頂點(diǎn)分別為A、B,右焦點(diǎn)為F,△FAB是邊長為2的等邊三角形.
 (I)求橢圓C的方程;   
(II)設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn),連接MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長交橢圓C于點(diǎn)P,求△PMN的面積S△PMN的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)F1、F2分別是橢圓C:=1(m>0)的左、右焦點(diǎn).

(1)當(dāng)P∈C,且=0,|PF1|·|PF2|=4時,求橢圓C的左、右焦點(diǎn)F1、F2;

(2)F1、F2是(1)中的橢圓的左、右焦點(diǎn),已知⊙F2的半徑是1,過動點(diǎn)Q的作⊙F2的切線QM,使得|QF1|=|QM|(M是切點(diǎn)),如圖所示,求動點(diǎn)Q的軌跡方程.

第19題圖

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年重慶市南開中學(xué)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如題圖已知橢圓C:的上、下頂點(diǎn)分別為A、B,右焦點(diǎn)為F,△FAB是邊長為2的等邊三角形.
 (I)求橢圓C的方程;   
(II)設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn),連接MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))并延長交橢圓C于點(diǎn)P,求△PMN的面積S△PMN的最大值.

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