Question

13．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$）且6sin²α+5sinαcosα-cos²α=0，求$\frac{si{n}^{2}α+2sinαcosα}{1+2si{n}^{2}α}$的值．

Answer 1

分析 已知得sinα+cosα=0或6sinα-cosα=0．求出tanα的值．由此能求出$\frac{si{n}^{2}α+2sinαcosα}{1+2si{n}^{2}α}$的值．

解答 解：由已知6sin²α+5sinαcosα-cos²α=0，得（sinα+cosα）（6sinα-cosα）=0．
即sinα+cosα=0或6sinα-cosα=0．…（3分）
因為α∈（0，$\frac{π}{2}$），所以tanα＞0．
所以tanα=$\frac{1}{6}$，
$\frac{si{n}^{2}α+2sinαcosα}{1+2si{n}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+2tanα}{3ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{\frac{1}{36}+2×\frac{1}{6}}{3×\frac{1}{36}+1}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等式的應(yīng)用，是中檔題．解題時要認真審題，注意同角三角函數(shù)的關(guān)系、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的靈活運用．