Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）平面A₁AC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO，△A₁AC中利用中位線，得EO∥A₁C．再結(jié)合線面平行的判定定理，可得A₁C∥平面BDE；
（II）根據(jù)正方體的側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合線面垂直的定義，得到AA₁⊥BD．再結(jié)合正方形的對角線互相垂直，得到AC⊥BD，從而得到BD⊥平面A₁AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以證出平面A₁AC⊥平面BDE．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC交BD于O，連接EO，
∵E為AA₁的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)
∴EO為△A₁AC的中位線
∴EO∥A₁C
又∵EO?平面BDE，A₁C?平面BDE
∴A₁C∥平面BDE；…（6分）
（Ⅱ）∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴AA₁⊥BD
又∵四邊形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
∵AA₁∩AC=A，AA₁、AC?平面A₁AC
∴BD⊥平面A₁AC
又∵BD?平面BDE
∴平面A₁AC⊥平面BDE．…（12分）

點(diǎn)評：本題以正方體為例，要求我們證明線面平行和面面垂直，著重考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和平面與平面位置關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．