Question

在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=8，AC=6，BC=10．求證：
（1）AB⊥平面ACC₁A₁；
（2）AB⊥A₁C．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）在△ABC中，由余弦定理知：cos∠CAB=0，從而可得AB⊥AC，由A₁A⊥AB可得AB⊥平面A₁CA，又有A₁CAC₁共面，從而得證AB⊥平面ACC₁A₁；
（2）由（1）得AB⊥平面ACC₁A₁，有A₁C?平面ACC₁A₁即得到AB⊥A₁C．

解答： 解：（1）在△ABC中，由余弦定理知：cos∠CAB=

AB2+AC2-BC2

2•AB•AC

=

64+36-100

2×8×6

=0，從而可得∠CAB=90°，即有AB⊥AC．
∵在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥AB．
∴AB⊥平面A₁CA．
又∵A₁A⊥∥C₁C，A₁A?平面A₁CA，且C在平面A₁CA上．
∴平面A₁CAC₁共面．
∴AB⊥平面ACC₁A₁；
（2）由（1）得AB⊥平面ACC₁A₁；
∵A₁C?平面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C．

點(diǎn)評：本題主要考察了直線與平面垂直的判定，考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．