Question

已知數(shù)列{a_n}滿足 a₁=1，a_n=2a_n-1+1，（n＞1）
（1）寫出數(shù)列的前4項(xiàng)；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù) a₁=1，a_n=2a_n-1+1，寫出前4項(xiàng)即可，
（2）由題意得a_n+1=2（a_n-1+1），繼而得到{a_n+1}是以a₁+1=1+1=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，然后寫出通項(xiàng)即可
（3）根基等比數(shù)列的求和公式計算即可

解答： 解：（1）a₁=1，a_n=2a_n-1+1a₂=2a₁+1=3，------------1分
a₃=2a₂+1=7-------------2分
a₄=2a₃+1=15---------3分
（2）a₁=1，a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1）-----------4分

an+1

an-1+1

=2-----------5分
∴{a_n+1}是以a₁+1=1+1=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，----6分
∴an+1=2×2n-1=2n-----------7分
∴an=2n-1-----------8分
（3）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n
則S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n
=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+（2⁴-1）+…+（2ⁿ-1）---------10分
=（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-n------11分
=

2-2n×2

1-2

-n---------13分
=2ⁿ⁺¹-2-n---------14分．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的概念及數(shù)列的遞推公式，及前n項(xiàng)公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．