設f（x）=ax2+8x+3（a∈R）．
（1）若g（x）=x•f（x），f（x）與g（x）在x同一個值時都取極值，求a；
（2）對于給定的負數(shù)a，當a≤-8時有一個最大的正數(shù)M（a），使得x∈[0，M（a）]時，恒有|f（x）|≤5．
（i）求M（a）的表達式；
（ii）求M（a）的最大值及相應的a的值．
【答案】分析：（1）先求得f（x）在時取得極值．由于f（x）與g（x）在x同一個值時都取極值，故由g'（x）=3ax2+16x+3知
，從而渴求的故．
（2）（i）先求得．再分類討論：當，即-8＜a＜0時，此時不滿足條件；當，即a≤-8時，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，而M（a）要最大，只能是ax2+8x+3=-5的較大根，故可求；
（ii）由 由于a≤-8，故可求
解答：解：（1）易知a≠0，f（x）在時取得極值．
由g（x）=ax3+8x2+3x得g'（x）=3ax2+16x+3
由題意得：．故．
經(jīng)檢驗時滿足題意．
（2）（i）因．∴．
情形一：當，即-8＜a＜0時，此時不滿足條件．
情形二：當，即a≤-8時，要使|f（x）|≤5在x∈[0，M（a）]上恒成立，
而M（a）要最大，只能是ax2+8x+3=-5的較大根，則．
∴
（ii） ，
∴當a=-8時，．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的極值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力．
練習冊系列答案
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對于函數(shù)f（x），其定義域為D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實數(shù)a的取值范圍．

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設f（x）=ax2+x-a，g（x）=2ax+5-3a
（1）若f（x）在x∈[0，1]上的最大值是
54
，求a的值；
（2）若對于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍；
（3）若f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于給定正數(shù)k，定fk（x）=
f(x)   (f(x)≤k)
k    (f(x)＞k)
，設f（x）=ax2-2ax-a2+5a+2，對任意x∈R和任意a∈（-∞，0）恒有fk(x)=
f(x)
，則（　　）

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（2013•閔行區(qū)二模）設f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，則f（2）的最大值為
14
14
．

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