Question

對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x₁、x₂∈D，且x₁≠x₂，若f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax²（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說(shuō)明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒_ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)凸函數(shù)的定義，作差f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]判斷即可；
（2）依題意，f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]?loga

x1+x2

2

＞loga

x1x2

，通過(guò)比較其真數(shù)的大小即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）不是其定義域上的凸函數(shù)．
f（x）的定義域?yàn)镽，設(shè)x₁≠x₂，則
f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=a(

x1+x2

2

)2-

1

2

（ax12-ax22）=-

a(x1-x2)2

4

＜0，…2分
∴f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，…4分
∴f（x）不是其定義域上的凸函數(shù)…6分
（2）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f（x）在（0，+∞）內(nèi)是凸函數(shù)，
∴f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，…8分
即loga

x1+x2

2

＞

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）=loga

x1x2

①…10分
∵x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
∴(

x1+x2

2

)2-x₁x₂=

(x1-x2)2

4

＞0，即

x1+x2

2

＞

x1x2

…12分
故要①成立，則a＞1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查作差法，著重考查推理證明的邏輯思維能力，屬于難題．