Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a}{a-1}$（2^x-2^-x）（a＞0，且a≠1）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，總有f（m-1）+f（m）＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）∵f（-x）=$\frac{a}{a-1}$（2^-x-2^x）=-$\frac{a}{a-1}$（2^x-2^-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)．…（2分）
設(shè)x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=$\frac{a}{a-1}$（${2}^{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-${2}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{a}{a-1}$（${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$），
∵y=2^x是增函數(shù)，∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，又1+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$＞0，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函數(shù)f（x）是減函數(shù)
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），函數(shù)f（x）是增函數(shù)．…（6分）
（2）由f（m-1）+f（m）＜0得f（m）＜-f（m-1）
由（1）知f（x）為奇函數(shù)，∴f（m）＜f（1-m） …（8分）
又由（1）得
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）是減函數(shù)
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞1-m}\\{-1＜m＜1}\\{-1＜1-m＜1}\end{array}\right.$解得$\frac{1}{2}$＜m＜1 …（10分）
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜1-m}\\{-1＜m＜1}\\{-1＜1-m＜1}\end{array}\right.$，解得0＜m＜$\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)行證明和轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．