Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1： （φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0），曲線C2： （φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b＞0）．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ ）與C1交于O、A兩點(diǎn)，與C2交于O、B兩點(diǎn)．當(dāng)α=0時(shí)，|OA|=1；當(dāng)α= 時(shí)，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|2+|OA||OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由曲線C1： （φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0）， 化為普通方程為（x﹣a）2+y2=a2 ， 展開(kāi)為：x2+y2﹣2ax=0，
其極坐標(biāo)方程為ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由題意可得當(dāng)θ=0時(shí)，|OA|=ρ=1，∴a= ．
曲線C2： （φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)b＞0），
化為普通方程為x2+（y﹣b）2=b2 ， 展開(kāi)可得極坐標(biāo)方程為ρ=2bsinθ，
由題意可得當(dāng) 時(shí)，|OB|=ρ=2，∴b=1．
（Ⅱ）由（I）可得C1 ， C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ．
∴2|OA|2+|OA||OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1= +1，
∵2θ+ ∈ ，∴ +1的最大值為 +1，
當(dāng)2θ+ = 時(shí)，θ= 時(shí)取到最大值
【解析】（I）由曲線C1： （φ為參數(shù)，實(shí)數(shù)a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化為普通方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可得出極坐標(biāo)方程，進(jìn)而得出a的值．同理可得b的值．（II）由（I）可得C1 ， C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA||OB|=2cos2θ+2sinθcosθ= +1，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．