已知函數f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a為常數,e=2.718…,且函數y=f(x)和y=g(x)的圖像在它們與坐標軸交點處的切線互相平行.
(1)求常數a的值;(2)若存在x使不等式>成立,求實數m的取值范圍;
(3)對于函數y=f(x)和y=g(x)公共定義域內的任意實數x0,我們把|f(x0)-g(x0)|的值稱為兩函數在x0處的偏差.求證:函數y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
(1) a=1.(2) (-∞,0).(3)詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)求出交點,切線平行即導數值相等可解;(2)轉化為新函數,求出導數,利用單調性極值解;(3)構造新函數求導,利用單調性證明.
試題解析:(1)f(x)與坐標軸的交點為(0,a),f′(0)=a,g(x)與坐標軸的交點為(a,0),g′(a)=.
∴a=,得a=±1,又a>0,故a=1.
(2>可化為m<x-ex.令h(x)=x-ex,則h′(x)=1-()ex.
∵x>0,∴+≥,ex>1(+)ex>1.故h′(x)<0.
∴h(x)在(0,+∞)上是減函數,因此h(x)<h(0)=0. ∴實數m的取值范圍是(-∞,0).
(3)y=f(x)與y=g(x)的公共定義域為(0,+∞),|f(x)-g(x)|=|ex-lnx|=ex-lnx.
令h(x)=ex-x-1,則h′(x)=ex-1>0.∴h(x)在(0,+∞)上是增函數.
故h(x)>h(0)=0,即ex-1>x. 、
令m(x)=lnx-x+1,則m′(x)=-1.
當x>1時,m′(x)<0,當0<x<1時,m′(x)>0.∴m(x)有最大值m(1)=0,因此lnx+1<x. ②
由①②,得ex-1>lnx+1,即ex-lnx>2.
∴ 函數y=f(x)和y=g(x)在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
考點:導數幾何意義、極值、導數的應用.
科目:高中數學 來源:2012-2013學年江西省南昌市高一5月聯(lián)考數學卷(解析版) 題型:解答題
已知函數f(x)= (a、b為常數),且方程f(x)-x+12=0有兩個實根為x1=3,x2=4.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)設k>1,解關于x的不等式f(x)< .
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科目:高中數學 來源:2015屆遼寧盤錦市高一第一次階段考試數學試卷(解析版) 題型:解答題
(12分)已知函數f(x)= (a,b為常數,且a≠0),滿足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一實數解,求函數f(x)的解析式和f[f(-4)]的值.
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年山東省萊蕪市高三上學期10月測試理科數學 題型:解答題
(本小題滿分l2分)
已知函數f(x)=a-
(1)求證:函數y=f(x)在(0,+∞)上是增函數;
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求實數a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2010-2011學年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數學文卷 題型:解答題
( (本小題滿分13分)
已知函數f(x)=(a-1)x+aln(x-2),(a<1).
(1)討論函數f(x)的單調性;
(2)設a<0時,對任意x1、x2∈(2,+∞),<-4恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數學 來源:2014屆黑龍江省高一期末考試文科數學 題型:解答題
(12分)已知函數f(X)=㏒a(ax-1) (a>0且a≠1)
(1)求函數的定義域 (2)討論函數f(X)的單調性
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