在四棱錐中,側(cè)面底面,,為中點(diǎn),底面是直角梯形,,,,.
(1)求證:面;
(2)求證:面面;
(3)設(shè)為棱上一點(diǎn),,試確定的值使得二面角為.
(1)證明過程詳見解析;(2)證明過程詳見解析;(3)能確定,.
解析試題分析:(1)先證明為平行四邊形,所以,即證明;(2)先證明面,所以,再證明 面,從而得到面面;(3)先建立空間直角坐標(biāo)系,所以即為面法向量,令面法向量為,利用夾角的余弦求出,又在棱上,所以對(duì)的值進(jìn)行取舍.
試題解析:(1)證明:記中點(diǎn)為. 連結(jié)、 ,
則 AB FE 所以AB FE 1分
所以為平行四邊形. 2分
又, 4分
(2)連結(jié)在直角梯形中.,,,所以, 5分
面, 6分
又 , ∴ 面, 7分
而面 面面 8分
(3)以為原點(diǎn), 所在直線分別為軸, 軸, 軸建立空間直角坐標(biāo)系.
,,,,
令,∵,∴又面
∴即為面法向量
又令面法向量為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐的底面是正方形,底面,是上一點(diǎn)
(1)求證:平面平面;
(2)設(shè),,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABC,且各棱長(zhǎng)均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點(diǎn).
(Ⅰ) 證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1,AB=AC=1,∠BAC=90°,連結(jié)A1B與∠A1BC=60°.
(Ⅰ)求證:AC⊥A1B;
(Ⅱ)設(shè)D是BB1的中點(diǎn),求三棱錐D-A1BC1的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在邊長(zhǎng)為的正方形中,分別為的中點(diǎn),分別為的中點(diǎn),現(xiàn)沿折疊,使三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.
(1)請(qǐng)判斷與平面的位置關(guān)系,并給出證明;
(2)證明平面;
(3)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E為AD的中點(diǎn),ABCE為菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G、F分別是線段CE、PB的中點(diǎn).
(Ⅰ) 求證:FG∥平面PDC;
(Ⅱ) 求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分別是線段BC,B1C1的中點(diǎn),P是線段AD的中點(diǎn).
(I)在平面ABC內(nèi),試做出過點(diǎn)P與平面A1BC平行的直線l,說明理由,并證明直線l⊥平面ADD1A1;
(II)設(shè)(I)中的直線l交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值.
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