【題目】已知長度為的線段的兩個端點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動,動點(diǎn)滿足,設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.

1)求曲線的方程;

2)過點(diǎn),且斜率不為零的直線與曲線交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線的斜率之積為常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)以及此常數(shù);若不存在,請說明理由.

【答案】12)存在兩個定點(diǎn),,使得直線的斜率之積為常數(shù),當(dāng)定點(diǎn)為時,常數(shù)為,當(dāng)定點(diǎn)為時,常數(shù)為

【解析】

1)設(shè),,利用向量關(guān)系坐標(biāo)化,可得曲線的方程;

2)由題意設(shè)直線的方程為,,,假設(shè)存在定點(diǎn),使得直線的斜率之積為常數(shù),將表示成關(guān)于的函數(shù),利用恒成立問題,可得定點(diǎn)坐標(biāo).

1)設(shè),,

由于,所以,

,所以.又因為,所以,

從而,即曲線的方程為.

2)由題意設(shè)直線的方程為,,

,所以,

,.

假設(shè)存在定點(diǎn),使得直線的斜率之積為常數(shù),則

.

當(dāng),且時,為常數(shù),解得.

顯然當(dāng)時,常數(shù)為;當(dāng)時,常數(shù)為.

所以存在兩個定點(diǎn),,使得直線的斜率之積為常數(shù),當(dāng)定點(diǎn)為時,常數(shù)為,當(dāng)定點(diǎn)為時,常數(shù)為.

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【題目】已知數(shù)列中,對任何正整數(shù)n都有:

1)若數(shù)列是首項和公差都是1的等差數(shù)列,求證:數(shù)列是等比數(shù)列;

2)若數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列是否是等差數(shù)列?若是請求出通項公式.

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【題目】如圖在四棱錐中,側(cè)棱平面,底面是直角梯形,,,為側(cè)棱中點(diǎn).

1)設(shè)為棱上的動點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得平面平面,并寫出證明過程;

2)求點(diǎn)到平面的距離.

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【題目】為了使房價回歸到收入可支撐的水平,讓全體人民住有所居,近年來全國各一、二線城市打擊投機(jī)購房,陸續(xù)出臺了住房限購令.某市一小區(qū)為了進(jìn)一步了解已購房民眾對市政府岀臺樓市限購令的認(rèn)同情況,隨機(jī)抽取了本小區(qū)50戶住戶進(jìn)行調(diào)查,各戶人平均月收入(單位:千元)的戶數(shù)頻率分布直方圖如圖,其中贊成限購的戶數(shù)如下表:

人平均月收入

贊成戶數(shù)

4

9

12

6

3

1

1)若從人平均月收入在的住戶中再隨機(jī)抽取兩戶,求所抽取的兩戶至少有一戶贊成樓市限購令的概率;

2)若將小區(qū)人平均月收入不低于7千元的住戶稱為高收入戶,人平均月收入低于7千元的住戶稱為非高收入戶根據(jù)已知條件完成如圖所給的列聯(lián)表,并說明能否有的把握認(rèn)為收入的高低贊成樓市限購令有關(guān).

非高收入戶

高收入戶

總計

贊成

不贊成

總計

附:臨界值表

0.1

0.05

0.010

0.001

2.706

3.841

6.63.5

10.828

參考公式:,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項能力指標(biāo)值(滿分為5分,分值高者為優(yōu)),繪制了如圖1所示的六維能力雷達(dá)圖,例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4,乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5,則下面敘述正確的是( )

A. 乙的邏輯推理能力優(yōu)于甲的邏輯推理能力

B. 甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值

C. 乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平

D. 甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,均為正三角形,EAB的中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:平面

(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.

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【題目】已知函數(shù),函數(shù),其中,的一個極值點(diǎn),且.

1)討論的單調(diào)性

2)求實數(shù)a的值

3)證明

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【題目】如圖,是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn),直線,將線段,分成兩段,其長度之比為,設(shè)上的兩個動點(diǎn),線段的中垂線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)在直線.

1)求橢圓的方程;

2)求的取值范圍.

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【題目】已知AB,C分別為△ABC的三邊a,bc所對的角,向量(sin Asin B),(cos B,cos A),且sin 2C.

(1)求角C的大;

(2)sin A,sin C,sin B成等差數(shù)列,且,求邊c的長.

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