Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點，，，分別為線段，上的動點，滿足.

（1）若點恰好與點重合，求半徑為且與直線相切于點的圓的方程；

（2）設(shè)，求證：的外接圓恒過定點（異于原點）.

Answer 1

【答案】（1）或（2）定點為證明見解析

【解析】

（1）當(dāng)點恰好與點重合時，可知，，設(shè)出圓的圓心坐標(biāo)為，

根據(jù)，求出，即可得到圓的方程；

（2）根據(jù)三個頂點坐標(biāo)，利用幾何法可以求出圓的方程，即可知圓過定點．

（1）依題意可知，，，所以．設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，

由，可得，，解得或．

故所求的圓的方程為：或．

（2）因為，設(shè)，則，即．

所以點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．

的垂直平分線所在直線方程為：，即；

的垂直平分線所在直線方程為：，

由 解得．

所以的外接圓的方程為：

即，化簡得，，

令，解得（舍去）或．

故的外接圓恒過定點．