Question

10．判斷函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-2x-3}$的單調(diào)性．

Answer 1

分析 可令x²-2x-3=t，（-4≤t＜0，或t＞0），設(shè)y=f（x），從而得到y(tǒng)=$\frac{1}{t}$，可判斷二次函數(shù)t=x²-2x-3在（-∞，-1），（-1，1）上單調(diào)遞減，而在（1，3），（3，+∞）上單調(diào)遞增，這樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷即可得出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：令x²-2x-3=t，-4≤t＜0，或t＞0，設(shè)y=f（x），則：
$y=\frac{1}{t}$，在t∈[-4，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減；
x∈（-1，3）時(shí)，t＜0，x∈（-∞，-1）∪（（3，+∞）時(shí)，t＞0；
函數(shù)t=x²-2x-3的對(duì)稱軸為x=1，該函數(shù)在（-1，1），（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（1，3），（3，+∞）上單調(diào)遞增；
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得，f（x）在（-1，1），（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（1，3），（3，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及反比例函數(shù)的單調(diào)性．