Question

A地產(chǎn)汽油，B地需要汽油．運(yùn)輸工具沿直線AB從A地到B地運(yùn)油，往返A(chǔ)，B一趟所需的油耗等于從A地運(yùn)出總油量的．如果在線段AB之間的某地C（不與A，B重合）建一油庫，則可選擇C作為中轉(zhuǎn)站，即可由這種運(yùn)輸工具先將油從A地運(yùn)到C地，然后再由同樣的運(yùn)輸工具將油從C地運(yùn)到B地．設(shè)=x，往返A(chǔ)，C一趟所需的油耗等于從A地運(yùn)出總油量的．往返C，B一趟所需的油耗等于從C地運(yùn)出總油量的．不計(jì)裝卸中的損耗，定義：運(yùn)油率P=，設(shè)從A地直接運(yùn)油到B地的運(yùn)油率為P₁，從A地經(jīng)過C中轉(zhuǎn)再運(yùn)油到B地的運(yùn)油率為P₂．
（1）比較P₁，P₂的大小；
（2）當(dāng)C地選在何處時(shí)，運(yùn)油率P₂最大？

Answer 1

解：（1）設(shè)從A地運(yùn)出的油量為a，根據(jù)題設(shè)，直接運(yùn)油到B地，往返油耗等于a，
所以B地收到的油量為（1-）a．
所以運(yùn)油率P₁==．
而從A地運(yùn)出的油量為a時(shí)，C地收到的油量為（1-）a，
B地收到的油量（1-）（1-）a，
所以運(yùn)油率P₂=（1-）（1-）=（+）（1-）．
所以P₂-P₁=x（1-x），因?yàn)?＜x＜1，
所以P₂-P₁＞0，即P₂＞P₁．
（2）因?yàn)镻₂=（+）（1-）≤=
當(dāng)且僅當(dāng)+=1-，即x=時(shí)，取“=”
所以當(dāng)C地為AB中點(diǎn)時(shí)，運(yùn)油率P₂有最大值．
分析：（1）設(shè)從A地運(yùn)出的油量為a，根據(jù)題設(shè)，直接運(yùn)油到B地，往返油耗等于a，所以B地收到的油量為（1-）a．根據(jù)
運(yùn)油率P=，可計(jì)算P₁；而從A地運(yùn)出的油量為a時(shí)，C地收到的油量為（1-）a，
B地收到的油量（1-）（1-）a，根據(jù)運(yùn)油率P=，可計(jì)算P₂．然后兩者作差比較．
（2）由P₂=（+）（1-）利用基本不等式求其最大值．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)模型的建立與應(yīng)用，涉及了函數(shù)模型的比較，基本不等式求函數(shù)最值．