Question

某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．
（I）估計這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分；
（II）假設(shè)在[90，100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數(shù)中任意抽取2個數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

解：（I）利用中值估算抽樣學(xué)生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
∴估計這次考試的平均分是72分．
（II）從95，96，97，98，99，100中抽2個數(shù)的全部可能的基本結(jié)果數(shù)是C₆²=15，
有15種結(jié)果，學(xué)生的成績在[90，100]段的人數(shù)是0.005×10×80=4（人），
這兩個數(shù)恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的基本結(jié)果數(shù)是C₄²=6，
兩個數(shù)恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的概率
隨機變量ξ的可能取值為0、1、2、3，且變量符合二項分布，
∴
∴變量ξ的分布列為：

∴
（或Eξ=）
分析：（I）利用分組兩端的數(shù)據(jù)中值估算抽樣學(xué)生的平均分，類似于加權(quán)平均數(shù)的算法，讓每一段的中值乘以這一段對應(yīng)的頻率，得到平均數(shù)，利用樣本的平均數(shù)來估計總體的平均數(shù)．
（II）根據(jù)等可能事件的概率公式得到兩個數(shù)恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的概率，隨機變量ξ的可能取值為0、1、2、3，且變量符合二項分布，根據(jù)符合二項分布寫出分布列和期望，也可以用一般求期望的方法來解．
點評：本題考查讀頻率分步直方圖，考查用樣本估計總體，考查等可能事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查二項分布，是一個綜合題．