Question

2．已知定義域為R的函數$f（x）=\frac{{a-{2^x}}}{{b+{2^x}}}$是奇函數
（1）求a，b的值．
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義證明
（3）若存在t∈R，使f（k+t²）+f（4t-2t²）＜0成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數奇偶性的性質建立方程關系進行求解．
（2）利用函數單調性的定義進行證明即可．
（3）根據函數單調性和奇偶性的性質將不等式進行轉化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數，∴f（0）=0
即$\frac{a-1}{b+1}=0∴a=1$
f（-1）=-f（1）∴$\frac{{a-\frac{1}{2}}}{{b+\frac{1}{2}}}=-\frac{a-2}{b+2}$
即　$\frac{{\frac{1}{2}}}{{b+\frac{1}{2}}}=\frac{1}{b+2}∴2b+1=b+2∴b=1$
經驗證符合題意．∴a=1，b=1
（2）$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{{-（{2^x}+1）+2}}{{1+{2^x}}}=-1+\frac{2}{{1+{2^x}}}$
f（x）在R上是減函數，證明如下：
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{{x}_{1}}}{1+{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1-{2}^{{x}_{2}}}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂∴${2^{x_1}}$＜${2^{x_2}}$
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上是減函數．
（3）∵f（k+t²）+f（4t-2t²）＜0，f（x）是奇函數．
∴f（k+t²）＜f（2t²-4t）
又∵f（x）是減函數，∴k+t²＞2t²-4t∴k＞t²-4t
設g （t）=t²-4t，
∴問題轉化為k＞g（t）_min
g（t）_min=g（2）=-4，
∴k＞-4

點評 本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數單調性的判斷和應用，利用定義法，結合函數奇偶性和單調性的性質將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．