Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+ax}{{e}^{x}}$（a∈R）．
（1）若f（x）在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時(shí)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在[2，+∞） 上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出a的值，計(jì)算f′（1），f（1）的值，代入切線方程即可；
（2）令g（x）=-x²+（2-a）x+a，得到當(dāng)x≥2時(shí)a≥$\frac{{-x}^{2}+2x}{x-1}$，令h（x）=$\frac{{-x}^{2}+2x}{x-1}$=-（x-1）+$\frac{1}{x-1}$，通過(guò)換元法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（2-a）x+a}{{e}^{x}}$，
依條件f′（0）=0，
∴a=0，
此時(shí)，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{-x（x-2）}{{e}^{x}}$，
∴f′（1）=$\frac{1}{e}$，切點(diǎn)（1，$\frac{1}{e}$），
∴切線方程為：x-ey=0；
（2）令g（x）=-x²+（2-a）x+a，
依條件g（x）≤0在[2，+∞）上恒成立，
∴-x²+（2-a）x+a≤0，
∴（x-1）a≥-x²+2x，
當(dāng)x≥2時(shí)a≥$\frac{{-x}^{2}+2x}{x-1}$，
令h（x）=$\frac{{-x}^{2}+2x}{x-1}$=-（x-1）+$\frac{1}{x-1}$，
令x-1=t（t≥1），
∴h（x）=-t+$\frac{1}{t}$=F（t），
F′（t）=-1-$\frac{1}{{t}^{2}}$＜0，
∴F（t）在（1，+∞）遞減，
∴h（x）_max=F（1）=0，
∴a≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論思想方法、“分離參數(shù)法”、推理能力與計(jì)算能力