Question

如圖，橢圓上的點(diǎn)M與橢圓右焦點(diǎn)F₁的連線MF₁與x軸垂直，且OM（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過(guò)F₁且與AB垂直的直線交橢圓于P，Q，若△PF₂Q的面積是，求此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知M（c，），，，故，由此能求出橢圓的離心率．
（2）設(shè)直線PQ的方程為：y=-，代入橢圓方程，消去x得：，故，，所以，由△PF₂Q的面積是，能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解答：解：（1）∵橢圓上的點(diǎn)M與橢圓右焦點(diǎn)F₁的連線MF₁與x軸垂直，
且OM（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓長(zhǎng)軸和短軸端點(diǎn)的連線AB平行，
∴M（c，），，，
∴，
∴b=c，∴，
∴．
（2）設(shè)直線PQ的方程為：y=-，
即y=-，
代入橢圓方程，消去x得：，
整理，得：，
∴，，
，
∴===20，
∴c²=25，∴a²=50，b²=25，
所以橢圓方程為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．