Question

【題目】2019年7月1日到3日，世界新能源汽車大會(huì)在海南博鰲召開，大會(huì)著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級(jí)和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善．某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試．現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖的頻率分布直方圖．

（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；

（2）根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航量程X近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50．用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率；

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購車優(yōu)惠券．已知硬幣出現(xiàn)正，反面的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格……第50格．遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動(dòng)一次，若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格（從k到），若擲出反面，遙控車向前移動(dòng)兩格（從k到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營(yíng)）或第50格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車移到第n格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車．

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．

Answer 1

【答案】（1）300；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算方法即可得出．

（2）由．利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可得．

（3）遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為．②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為．可得：，即可得證數(shù)列是等比數(shù)列，并計(jì)算獲勝與失敗的概率.

（1）

（千米）．

（2）由．

∴．

（3）遙控車開始在第0格為必然事件，．

第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．

遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：

①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為．

②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為．

∴．

∴．

∴時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，

首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．

∴，，

，……，．

∴

．．

∴獲勝的概率，

失敗的概率．

∴．

∴獲勝的概率大．

∴此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車．