Question

洛薩•科拉茨（Lothar Collatz，1910.7.6-1990.9.26）是德國(guó)數(shù)學(xué)家，他在1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即

n

2

）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1．如初始正整數(shù)為6，按照上述變換規(guī)則，我們得到一個(gè)數(shù)列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．對(duì)科拉茨（Lothar Collatz）猜想，目前誰(shuí)也不能證明，更不能否定．現(xiàn)在請(qǐng)你研究：如果對(duì)正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則施行變換（注：1可以多次出現(xiàn)）后的第八項(xiàng)為1，則n的所有可能的取值為

{2，3，16，20，21，128}

．

Answer 1

分析：利用第八項(xiàng)為1出發(fā)，按照規(guī)則，逆向逐項(xiàng)即可求出n的所有可能的取值．

解答：解：如果正整數(shù)n按照上述規(guī)則施行變換后的第八項(xiàng)為1，
則變換中的第7項(xiàng)一定是2，變換中的第6項(xiàng)一定是4；變換中的第5項(xiàng)可能是1，也可能是8；變換中的第4項(xiàng)可能是2，也可是16，
變換中的第4項(xiàng)是2時(shí)，變換中的第3項(xiàng)是4，變換中的第2項(xiàng)是1或8，變換中的第1項(xiàng)是2或16
變換中的第4項(xiàng)是16時(shí)，變換中的第3項(xiàng)是32或5，變換中的第2項(xiàng)是64或108，變換中的第1項(xiàng)是128，21或20，3
則n的所有可能的取值為2，3，16，20，21，128．
故答案為：{2，3，16，20，21，128}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，利用變換規(guī)則，進(jìn)行逆向驗(yàn)證是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的推理能力．