Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=

1

4

，

an+1

an

=

1

4

，bn+2=3log

1

4

an(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=（-1）ⁿ⁺¹b_nb_n+1，且{c_n}的前n項和S_n，若S_n≥tn²對n∈N^*恒成立，求實數(shù)t取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）利用等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（II）利用對數(shù)的運算性質(zhì)、等差數(shù)列的定義即可證明；
（III）對n分奇數(shù)與偶數(shù)討論，利用等差數(shù)列的前n項和公式、分離參數(shù)、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（I）∵

an+1

an

=

1

4

，
∴數(shù)列{a_n}是首項為

1

4

，公比為

1

4

的等比數(shù)列，
∴an=(

1

4

)n(n∈N*)．
（II）∵bn=3log

1

4

an-2
∴bn=3log

1

4

(

1

4

)n-2=3n-2．
∴b₁=1，公差d=3
∴數(shù)列{b_n}是首項b₁=1，公差d=3的等差數(shù)列．
（III）由（1）知，an=(

1

4

)n，bn=3n-2，
當n為偶數(shù)時，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_n（b_n-1-b_n+1）
=-6(b2+b4+…+bn)=-6

(4+3n-2)• n 2

2

=-

3

2

n(3n+2)≥tn2，即t≤-

3

2

(3+

2

n

)對n取任意正偶數(shù)都成立．
∴t≤-6．
當n為奇數(shù)時，偶數(shù)時，
S_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_n-1b_n-b_nb_n+1
=-

3

2

(n-1)[3(n-1)+2]+(3n-2)(3n+1)=

9

2

n2+3n-

7

2

＞0對t≤-6時Sn≥tn2恒成立，
綜上：t≤-6．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法，考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．