Question

已知在△ABC中，tanA-tanB-

3

tanAtanB=

3

，sin

A+B

2

cos

π-C

2

=

1

4

，若C為銳角，試求出∠A、∠B、∠C．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：先由兩角差的正切公式，得到tan（A-B），再由A，B的范圍，得到A-B的值，再由條件運(yùn)用二倍角的正弦公式，得到sin（A+B），再由范圍得到A+B的值，分四種情況求出A，B，注意三角形的內(nèi)角的范圍，從而得到A，B，C．

解答： 解：由tanA-tanB-

3

tanAtanB=

3

⇒tan(A-B)=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3

，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴-π＜A-B＜π，
∴A-B=

π

3

或A-B=-

2π

3

由sin

A+B

2

cos

π-C

2

=

1

4

⇒sin

A+B

2

cos

A+B

2

=

1

4

⇒sin(A+B)=

1

2

，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，0＜A+B＜π
∴A+B=

π

6

或A+B=

5π

6

（1）若A-B=-

2π

3

，A+B=

π

6

，則A=-

π

4

，B=

5π

12

，舍去；
（2）若A-B=-

2π

3

，A+B=

5π

6

，則A=

π

12

，B=

3π

4

；
（3）若A-B=

π

3

，A+B=

π

6

，則A=

π

4

，B=-

π

12

，舍去；
（4）若A-B=

π

3

，A+B=

5π

6

，則A=

7π

12

，B=

π

4

．
綜上：A=

7π

12

，B=

π

4

，C=

π

6

或A=

π

12

，B=

3π

4

，C=

π

6

點(diǎn)評：本題考查兩角差的正切函數(shù)及二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式及運(yùn)用，考查分情況討論的思想方法，考查運(yùn)算能力和判斷能力，屬于中檔題．