Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且．數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，是否存在常數(shù)λ，使得不等式（n∈N^*）恒成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：當n=1時 ；
當n≥2時 ，
因為a₁=1適合通項公式．
所以 （n∈N^*）． …（5分）
（Ⅱ）證明：因為 b_n+1-2b_n=8a_n，所以 ，即．
所以是首項為=1，公差為2的等差數(shù)列．
所以，
所以． …（9分）
（Ⅲ）解：存在常數(shù)λ使得不等式（n∈N^*）恒成立．
因為①
所以2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-5）•2^n-1+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
由①-②得，
化簡得．
因為==，
（1）當n為奇數(shù)時，，所以，即．
所以當n=1時，的最大值為，所以只需；
（2）當n為偶數(shù)時，，所以，
所以當n=2時，的最小值為，所以只需；
由（1）（2）可知存在，使得不等式（n∈N^*）恒成立．…（13分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據(jù)b_n+1-2b_n=8a_n，可得，從而可得是首項為=1，公差為2的等差數(shù)列，由此可求{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）存在常數(shù)λ使得不等式（n∈N^*）恒成立．利用錯位相減法求數(shù)列的和，再分類討論，利用分離參數(shù)法，即可得到結論．
點評：本題考查數(shù)列的通項，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查存在性問題的探究，考查分離參數(shù)法的運用，屬于中檔題．