Question

已知直線l：y=x+t上的點(diǎn)P，從P引⊙○：x²+y²=2的一條切線（切點(diǎn)為Q），對(duì)于某一t的值，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總存在定點(diǎn)M使得PM=PQ，則這樣的t的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：設(shè)點(diǎn)P（a，a+t），點(diǎn)M（b，c），由題意可得PQ²=PM²，化簡(jiǎn)可得（2b+2c）a=b²+c²+2-2ct 對(duì)任意的實(shí)數(shù)a都成立，故有

2b+2c=0 b2+c2+2-2ct=0

，可得t=c+

1

c

，c≠0．
分類討論，利用基本不等式求得t的范圍．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)P（a，a+t），點(diǎn)M（b，c），由題意可得PQ²=PO²-2=a²+（a+t）²-2，PM²=（a-b）²+（a+t-c）²．
由題意可得  a²+（a+t）²-2=（a-b）²+（a+t-c）²，化簡(jiǎn)可得（2b+2c）a=b²+c²+2-2ct 對(duì)任意的實(shí)數(shù)a都成立，
故有

2b+2c=0 b2+c2+2-2ct=0

，可得t=c+

1

c

，c≠0．
當(dāng)c＞0時(shí)，由基本不等式可得t≥2；當(dāng)c＜0時(shí)，由基本不等式可得-t=-c+（-

1

c

）≥2，求得t≤-2．
綜上可得，t的范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞），
故答案為：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的切線性質(zhì)，函數(shù)的恒成立里問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．