Question

已知：函數(shù)f（x）=

|x+1|+|x-2|-m

（1）當(dāng)m=5時(shí)，求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≥

2

的解集是R，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的定義域及其求法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，由題意丨x+1丨+丨x-2丨-5≥0，把不等式轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求得不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由題意可得丨x+1丨+丨x-2丨-m的最小值大于或等于2，由絕對值三角不等式可得丨x+1丨+丨x-2丨-m的最小值為3，可得3-m≥2，從而求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)m=5時(shí)，由題意丨x+1丨+丨x-2丨-5≥0，
∴

x≥2 x+1+x-2-5≥0

①，或 

-1≤x＜2 x+1-x+2-5≥0

②，或

x＜-1 -x-1-x+2-5≥0

③．
解①求得x≥3，解②求得x∈∅，解③求得x≤-2，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，2]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥2的解集是R，即 丨x+1丨+丨x-2丨≥2+m 的解集為R．
而丨x+1丨+丨x-2丨≥|（x+1）-（x-2）|=3，
故有 3≥2+m，即 m≤1，
故m的范圍為（-∞，1]．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，絕對值三角不等式，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．