Question

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點．
（1）證明AD⊥D₁F；  
（2）求AE與D₁F所成的角；
（3）證明面AED⊥面A₁FD₁；
（4）設AA1=2，求三棱錐F-A1ED1的體積VF-A1ED1．

Answer 1

分析：解法一：傳統(tǒng)證法．（1）利用線面垂直，證明線線垂直；
（2）設A₁G與AE相交于點H，先證∠AHA₁是AE與D₁F所成的角，再求直線AE與D₁F所成角；
（3）利用線面垂直，證明面面垂直；
（4）利用轉(zhuǎn)換底面的方法，求三棱錐的體積；
解法二：向量證法．設正方體的棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
（1）利用

DA

•

D1F

=0，可證AD⊥D₁F；
（2）求得cosθ=

AE • D1F

| AE |•| D1F |

=

0

| AE |•| D1F |

=0，可求AE與D₁F所成的角；（3）由題意：

D1A1

=(2，0，0)，
設平面AED的法向量為

n1

=(x1，y1，1)，設平面A₁FD₁的法向量為

n2

=(x2，y2，1)，證明平面的法向量垂直，即可證明面AED⊥面A₁FD₁．
（4）先求得SA1FD1=

1

2

•A1D1•D1F=

5

，計算E到平面A₁FD₁的距離d=

| EF • n2 |

| n2 |

=

3

5

，即可求三棱錐的體積．

解答：解法一：（1）∵AC₁是正方體，∴AD⊥面DC₁．
又D₁F?面DC₁，∴AD⊥D₁F．
（2）取AB中點G，連接A₁G，F(xiàn)G．
因為F是CD的中點，所以GF、AD平行且相等，
又A₁D₁、AD平行且相等，所以GF、A₁D₁平行且相等，故GFD₁A₁是平行四邊形，A₁G∥D₁F．
設A₁G與AE相交于點H，則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角，
因為E是BB₁的中點，所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE，
∴∠GA₁A=∠GAH，從而∠AHA₁=90°，即直線AE與D₁F所成角為直角．
（3）由（1）知AD⊥D₁F，由（2）知AE⊥D₁F，
又AD∩AE=A，所以D₁F⊥面AED．
又因為D₁F?面A₁FD₁，
所以面AED⊥面A₁FD₁．
（4）連接GE，GD₁．
∵FG∥A₁D₁，∴FG∥面A₁ED₁，
∵AA₁=2，
∴面積S_△A1GE=S_ABB1A1-2S_△A1AG-S_△GBE=

3

2

又VF-A1ED1=

1

2

VE-A1GFD1=VF-A1GE=

1

3

SA1GE•FG
∴VF-A1ED1=

1

3

•

3

2

•2=1
解法二：利用用向量求解
解：設正方體的棱長為2，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標系，
則D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），E（2，2，1），A₁（2，0，2），D₁（0，0，2），
（1）∵

DA

=(2，0，0)，

D1F

=(0，1，-2)，得

DA

•

D1F

=0，∴AD⊥D₁F；
（2）又

AE

=(0，2，1)，得cosθ=

AE • D1F

| AE |•| D1F |

=

0

| AE |•| D1F |

=0
∴AE與D₁F所成的角為90°
（3）由題意：

D1A1

=(2，0，0)，
設平面AED的法向量為

n1

=(x1，y1，1)，設平面A₁FD₁的法向量為

n2

=(x2，y2，1)，
由

DA • n1 =0 AE • n1 =0

⇒

x1=0 y1=- 1 2

⇒

n1

=(0，-

1

2

，1)
由

D1F • n2 =0 D1A1 • n2 =0

⇒

x2=0 y2=2

⇒

n2

=(0，2，1)

得|cosα|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|0-1+1|

| n1 |•| n2 |

=0
∴面AED⊥面A₁FD₁．
（4）∵AA₁=2，

EF

=(-2，-1，-1)，
平面A₁FD₁的法向量為

n2

=(0，2，1)
SA1FD1=

1

2

•A1D1•D1F=

5

，
∴E到平面A₁FD₁的距離d=

| EF • n2 |

| n2 |

=

3

5

，
∴VF-A1ED1=

1

3

•

3

5

•

5

=1．

點評：本題重點考查線面垂直、面面垂直，考查三棱錐的體積，兩法并用，注意比較，細細體會．