如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓C1
x2
4
+y2=1
C2
x2
16
+
y2
4
=1
判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請(qǐng)說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且半短軸長為b的橢圓Cb的方程,并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);
(3)已知直線l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱,若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.
分析:(1)根據(jù)橢圓中基本量a、b、c的平方關(guān)系結(jié)合題中數(shù)據(jù),求出橢圓C1的特征的特征三角形是腰長為2,底邊長為
3
的等腰三角形,C1橢圓C2的特征的特征三角形是腰長為4,底邊長為2
3
的等腰三角形,不難得出兩個(gè)橢圓是相似比為2的兩個(gè)橢圓;
(2)類比相似三角形的性質(zhì)和中心在原點(diǎn)的橢圓的幾何特征,可得到①橢圓的面積比的性質(zhì);②橢圓中的相似四邊形;③兩個(gè)橢圓公共的割線得到弦的中點(diǎn)重合等幾個(gè)特征;
(3)先假設(shè)存在滿足條件的兩點(diǎn)M、N,得到由直線l與已知橢圓聯(lián)列,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合垂直平分的條件,可求得MN中點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合這個(gè)中點(diǎn)在直線y=x+1上,得到存在直線y=-x-
5
3
,找到符合題的M、N.最后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合弦長公式:|MN|=
1+k2
|x1-x2 |
,可得出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.
解答:解:(1)橢圓C2與C1相似.
因?yàn)镃2的特征三角形是腰長為4,底邊長為2
3
的等腰三角形,
而橢圓C1的特征三角形是腰長為2,底邊長為
3
的等腰三角形,
因此兩個(gè)等腰三角形相似,且相似比為2:1.
根據(jù)題中兩個(gè)橢圓相似的定義可得:橢圓C2與C1相似.-------(4分)
(2)∵橢圓Cb與橢圓C1相似
∴橢圓Cb的長軸是短軸的2倍
∵橢圓Cb的半短軸長為b
∴橢圓Cb的方程為:
x2
4b2
+
y2
b2
=1(b>0)
.------------------------(7分)
由(1)可得兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有:
①兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方;
②分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似,相似比即為橢圓的相似比;
③兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合,過原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比.----(10分)
(3)假定存在滿足條件的兩點(diǎn)M、N,則設(shè)M、N所在直線為y=-x+t,MN中點(diǎn)為(x0,y0).
y=-x+t
x2
4b2
+
y2
b2
=1
⇒5x2-8tx+4(t2-b2)=0.-------------------(12分)
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),可得
x1+x2=
8t
5
x1x2=
4(t2-b2
5

x0=
x1+x2
2
=
4t
5
,y0=-
4t
5
+t=
t
5

結(jié)合中點(diǎn)在直線y=x+1上,所以有t=-
5
3
.-------------(16分)
|x1-x2|=
(
40
3
)
2
-20(
100
9
-4b2)
5
=
4
5
5b2-
25
9

∴所求函數(shù)的解析式為:
f(b)=|MN|=
2
|x1-x2|=
4
5
10b2-
50
9
(b>
5
3
)
.-------------(18分)
點(diǎn)評(píng):本題以橢圓為例,考查了圓錐曲線的基本性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系和解析幾何與函數(shù)之間的聯(lián)系等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.解題過程中用到了“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想,避免了繁的化簡計(jì)算,請(qǐng)同學(xué)們加以注意.若不用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來解決,則容易因計(jì)算太繁而至錯(cuò).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓C1
x2
4
+y2=1和C2
x2
16
+
y2
4
=1,判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請(qǐng)說明理由;
(2)已知直線l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱,若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過橢圓C上一點(diǎn)P(2,1)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,分別與橢圓交于點(diǎn)A、B,直線AB與x軸交于點(diǎn)M,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點(diǎn),右焦點(diǎn)分別為A,F(xiàn),右準(zhǔn)線為l,N為l上一點(diǎn),且在x軸上方,AN與橢圓交于點(diǎn)M.
(1)若AM=MN,求證:AM⊥MF;
(2)過A,F(xiàn),N三點(diǎn)的圓與y軸交于P,Q兩點(diǎn),求PQ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求
TM
TN
的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:|OR|•|OS|為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左頂點(diǎn),右焦點(diǎn)分別為A、F,右準(zhǔn)線為m.圓D:x2+y2+x-3y-2=0.
(1)若圓D過A、F兩點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)若直線m上不存在點(diǎn)Q,使△AFQ為等腰三角形,求橢圓離心率的取值范圍.
(3)在(1)的條件下,若直線m與x軸的交點(diǎn)為K,將直線l繞K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
得直線l,動(dòng)點(diǎn)P在直線l上,過P作圓D的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N,求弦長MN的最小值.

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