Question

16．已知f（x）=3cos（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x），則f（x）的最小正周期為2π，f（x）的最大值為$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用誘導公式化簡函數(shù)的表達式，通過兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，求出周期，通過（1）得到的函數(shù)表達式，利用正弦函數(shù)的最值，求出函數(shù)的最大值．

解答 解：∵f（x）=3cos（$\frac{π}{2}$-x）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$+x）
=3sinx+$\sqrt{3}$cosx
=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$cosx）
=2$\sqrt{3}$（sinxcos$\frac{π}{6}$+sin$\frac{π}{6}$cosx）
=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
∴T=2π．
當sin（x+$\frac{π}{6}$）=1時，
函數(shù)f（x）取最大值為：2$\sqrt{3}$．
故答案為：2π；$2\sqrt{3}$．

點評 本題考查利用誘導公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡三角函數(shù)的表達式的方法，考查三角函數(shù)的最值、周期的求法，考查計算能力，是基礎題．