Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物x²=4y的焦點(diǎn)F重合，且橢圓的離心率為

2

2

．
（1）求橢圓的方程．
（2）過點(diǎn)P（t，-1）作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，直線MN與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，直線PF與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，如圖所示．
①求直線MN的方程．
②求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F（0，1），則c=1，再由橢圓的離心率公式，即可得到a，再由a，b，c的關(guān)系，求出b，即可得到橢圓方程；
（2））①設(shè)出切點(diǎn)，求出函數(shù)y=

1

4

x²的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，求出切線方程，得到交點(diǎn)P，即可得到MN的方程；
②求出直線PF的方程，得到MN⊥PF，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，得到AB，CD的長，再由面積公式S=

1

2

|AB|•|CD|，化簡整理，討論t=0，t≠0，分別求出最值即可，注意運(yùn)用基本不等式．

解答： 解：（1）拋物線x²=4y的焦點(diǎn)F（0，1），則c=1，
∵橢圓的離心率為

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，∴b=1，
∴橢圓的方程為

y2

2

+x2=1；
（2）①設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），y=

1

4

x²的導(dǎo)數(shù)y′=

1

2

x，
y₁=

1

4

x₁²，y₂=

1

4

x₂²，
則切線PM：y-

x12

4

=

1

2

x₁（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

x12

4

，
同理切線PN：y=

1

2

x₂x-

x22

4

，
聯(lián)立求得P（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），則x₁+x₂=2t，x₁x₂=-4，
∴直線MN的方程為y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，即y=

1

2

tx+1，
②直線PF：y-1=-

2

t

（x-6），即y=-

2

t

x+1，
∵

1

2

t•（-

2

t

）=-1，∴MN⊥PF，
由

2x2+y2=2 y= 1 2 tx+1

消去y，得，（8+t²）x²+4tx-4=0，顯然△＞0，
x₁+x₂=-

4t

8+t2

，x₁x₂=

-4

8+t2

，2
則弦長AB=

1+ t2 4

•

16t2 (8+t2)2 + 16 8+t2

，
同理由

2x2+y2=2 y=- 2 t x+1

消去y，可得弦長CD=

1+ 4 t2

•

256t2 (8t2+16)2 + 2t2 t2+2

，
則有四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AB|•|CD|=

2(4+t2)2

(2+t2)(8+t2)

=2•

t4+8t2+16

t4+10t2+16

=2•

1

1+ 2t2 t4+8t2+16

，
故當(dāng)t=0時(shí)，面積S有最大值2，
當(dāng)t≠0時(shí)，S=2•

1

1+ 2 t2+ 16 t2 +8

，當(dāng)且僅當(dāng)t²=

16

t2

，即t=±2時(shí)，S最小，且為

16

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及弦長公式的運(yùn)用，同時(shí)考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求切線的方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．